Dos pintores en una habitación

Para este primer problema elegí uno de mis preferidos. Hay unas cuantas variantes del mismo (y de todos los que vaya subiendo) así como formas de poder resolverlos. Lo conocí cuando estudiaba en la secundaria (un profesor un día lo propuso en clase), y después me lo encontré en "Matemática... ¿Estas ahí? Episodio 3,14", libro escrito por Adrián Paenza. Para acompañar la lectura, les dejo un poco de música que escuchaba mientras escribía.

Como bien indica el título, tenemos dos pintores que deben colorear una habitación. Sabemos que el primero de ellos tardaría cuatro horas en hacer el trabajo solo, mientras que el otro solo dos.

Ahora, la pregunta es: ¿Cuánto tardarán en pintar la habitación si los dos trabajan juntos a la vez?

ATENCIÓN, se que muchos automáticamente estarán pensando esto así que lo aclaro: la respuesta no es tres horas.

Respuesta:

¿Por qué tanta gente responde en inicio tres horas? Bueno, creo que en una especie de arrebato por solucionar rápido las cosas, o mostrarnos como inteligentes por resolver problemas rápidamente, esas personas no están pensando para nada lo que están diciendo. Pues, si un pintor solo tarda dos horas, es evidente que si trabaja en conjunto con el otro pintor van a tardar menos tiempo en pintar la pieza. Que quede claro entonces: si uno solo tarda dos horas, es imposible que tarde más si recibe ayuda. Por eso mismo, decir tres horas es bastante poco lógico.

Antes que sigan leyendo, quiero darles una última a las personas que no hayan tratado de resolverlo. Leer las propuestas que voy a escribir más abajo sin haber intentado resolverlo por uno mismo es aburrido. Además, resolver problemas es una actividad fabulosa. Dense la oportunidad de pensarlo.

¿No salió? Bueno, antes de resolverlo les propongo una pequeña ayuda. Pensemos que pintar la habitación sería pintar cuatro paredes. Descartemos el techo por un rato para que sea más fácil. Con esta ayuda, traten de volver a pensarlo.

Dicho esto, les propongo algunas maneras de pensar la solución: la primera es como lo han pensado algunos de mis estudiantes (usando la pista de las cuatro paredes), que se asemeja un poco a uno de los caminos que menciona Paenza, y la última es como lo resolví en la secundaria, que es algo similar a la segunda propuesta del libro.

Entonces, considerando las cuatro paredes, el pintor que tarda cuatro horas (a quien llamaré A) pinta una pared en una hora, ya que tarda cuatro horas en pintar cuatro paredes. Por otro lado, el otro pintor (a partir de ahora será B) pinta 2 paredes en ese periodo de tiempo, pues tarda dos horas en pintar cuatro paredes. De esta manera, en una hora entre A y B pintaron tres de las cuatro paredes. Solo les falta pintar una pared, que no es otra cosa que la tercera parte del trabajo que ya hicieron. Repito por las dudas: en una hora pintan tres paredes, lo que deja una sola pared para pintar, que es la tercera parte del trabajo ya hecho.

Pero si tardan una hora (60 minutos) en pintar tres paredes para pintar una pared deben tardar la tercera parte de esa hora. Es decir, tardan 20 minutos en pintar la pared faltante. Por lo tanto, si los pintores trabajan juntos tardan 80 minutos (1 hora y 20 minutos) en pintar la habitación.

Como dije, esta idea tiene de fondo la misma base que presenta Paenza en el libro. Si bien él no usa las cuatro paredes, si usa la idea de ver que parte del trabajo hacen los pintores juntos durante la primera hora. Pero bueno, era necesario que mencione el argumento de las paredes, que también propuse como una ayuda, porque es una idea que normalmente sale de mis estudiantes de matemática del secundario. A ellos les agradezco estas pequeñas grandes ideas.

Por otro lado, les presento la idea que tuve hace ya unos cuantos años, que también tiene que ver con lo anterior y con una de esas herramientas que nos presentan en el secundario, aunque a veces parece que la usamos sin entender como funciona: "La regla de tres simple".

Ahora, para saber cuanto vale "x" (es decir, despejar su valor) solo falta hacer uso de la famosa regla, que indica realizar la siguiente operación:

x = (1 * 60)/(3/4) = 80

Así, también obtenemos los 80 minutos, es decir, 1 hora y 20 minutos de trabajo en conjunto para los pintores.

Ahora, antes de cerrar el post, quiero dejar en claro algo: Que yo haya podido resolver este problema en 10 minutos cuando estaba en la secundaria no indica que sea superior a nadie. Tal vez yo tarde 10 minutos en resolver este problema, mientras que otra persona estuvo pensándolo algunos días. A su vez, tal vez esa persona resolvió en 10 segundos un problema que yo tardaría años en resolver.

En definitiva, si tarde 10 minutos es porque siempre me gustaron mucho estos problemas, y luego de pensar varios ya "estaba preparado". Por eso a veces cuando se me cruzan estos enigmas matemáticos a veces puedo resolverlos rápidamente. Pero aunque no lo crean, esas veces son las menos, mientras que son más veces las que tardo bastante en resolver estos enigmas. Me llevan tiempo. A veces horas, a veces días, a veces más tiempo aún.

Y eso me parece fantástico. Tener un problema dando vueltas en la cabeza es algo que me puede ayudar a ser un poco más inteligente, tener mejores ideas cuando se me cruzan estos enigmas, y también, otros problemas. Resolver estas pequeñas grandes incógnitas ayuda a que desarrollemos herramientas a la hora de atravesar situaciones problemáticas. Y cuantos más problemas resolvemos, más herramientas tenemos.