Cuatro pesas

Para este problema no voy a dar una gran introducción como para los anteriores. Me voy a limitar a dos cosas. Primero, recomendar un poco de música. Por otro lado, quiero mencionar que este problema esta incluido en uno de mis libros favoritos: "El Ultimo Teorema de Fermat". Una pieza de literatura científica fabulosa, es todo lo que un libro de divulgación científica tiene que ser. De solo mencionarlo se me eriza la piel recordando algunos de sus párrafos, no solamente por la calidad del autor, sino también por todo el recorrido histórico que hace. Maravilloso es poco.

El problema que quiero plantear es el siguiente: ¿Qué número mínimo de pesas hay que utilizar junto a una balanza de platillos para poder pesar cualquier número entero de kilogramos entre 1 y 40? 

Así de sencillo es el tema. Y lo mejor de todo es que no se necesita "saber nada de matemática" para poder resolver esta pequeña pregunta, por lo que no queda otra opción más que pensarlo.

Recuerdo que a medida que iba leyendo el libro trataba de parar resolver los problemas, y este no fue la excepción. Siempre que lee este tipo de libros donde aparecen pequeños problemas trato de tener un bloc de hojas y una lapicera para puntear alguna idea. Bah, en general siempre tengo a mano hojas y algo para escribir algo.

Pero más lindo es el recuerdo que tengo cuando le recomendé el libro a un amigo (con quien compartí algunos años de estudios juntos) y un día rumbo a la universidad me sorprendió al mostarme que estaba leyendo el libro. Además, al igual que a mi, le pareció fantástico. Charlamos un poco respecto de que era lo que más nos gustaba del libro y recuerdo bien dos cosas.

La primera es una curiosidad sobre Euler. Este gran matemático tuvo muchos problemas de visión durante toda su vida, al punto tal que en sus últimos años sufrió una ceguera total. O eso uno creería, pues él dijo algo así como que una vez ciego ya no había distracciones que lo interrumpan de realizar sus trabajos. Como muchos genios, un tipo muy particular.

Lo segundo que hablamos fue el problema. Antes que sigas leyendo, spoiler alert: a partir de acá voy a contar la respuesta y como se me ocurrió. Si bien cuando el me mencionó devuelta el problema ya no recordaba la respuesta, le pedí que me diera un poco de tiempo para hacer memoria. Pero como esta me falló, empece a pensarlo en el momento.

Para mi era casi obvio que la primera pesa tenía que ser de 1 kg. Y a partir de ella empecé a elaborar una estrategia. Lo otro que noté es que las cuatro pesas tenían que sumar 40 kilogramos juntas, por lo tanto, las tres restantes debían sumar 39. Y acá fue donde supuse que la siguiente pesa debía ser de 2 kg. Así ya podía pesar 1, 2 y 3 kg. Pero entonces necesitaría la pesa de 4 para lograr este peso. Ahora podía pesar cualquier cosa entre 1 y 7. Por lo tanto la siguiente pesa debía ser de 8.

Con esto, mis cuatro pesas eran de 1, 2, 4 y 8 kg. Pero entre ellas solo podía pesar paquetes de hasta 15 kilogramos. Gran problema. Pero hay algo que yo no estaba considerando: la balanza de la que uno dispone es de platillos, es decir, nos permite poner pesas en cualquiera de los dos platillos. Entonces, por ejemplo, si dispongo de una pesa de 10kg y otra de 15 kg, puedo saber si un paquete pesa 5 kg: en un platillo pongo la pesa de 15, y en el otro el paquete junto a la pesa de 10.

Y acá esta el punto de inflexión. Volví a empezar con la pesa de 1 kg, pero esta vez tomé como segunda pesa una de 3. Así podía pesar 1, 2, 3 y 4 kilogramos. Ahora, estos 4 kilos yo también los puedo poner del otro lado, es decir, los puedo usar para contrarrestar la siguiente pesa. En limpio: puedo pesar hasta 4 kilos, pero también puedo restar hasta 4 kilos. Entonces, una pesa de 6 kg, por ejemplo, sería inútil, pues me permite "ir para adelante" hasta los 10 kilos, pero "volviendo para atrás" consigo 2 kilos, algo que ya había logrado antes.

Acá pensé lo siguiente: necesito poder pesar un paquete de 5 kilogramos a partir de restarle 4 kilos a otra pesa. No queda más opción que la pesa sea de 9 kg. Con esto tengo tres pesas, de 1, 3 y 9 kg. Acá hay tres formas que se me ocurren de como llegar a la última pesa:

• Juntas las tres pesas suman 13 kilos, y como necesito pesar hasta 40 kilos, la que me falta debe pesar 27 kilos.
• Al igual que antes, empiezo considerando los 13 kilos, pero esta vez pienso lo siguiente. Necesito poder pesar un paquete de 14 kilos, que junto a los 13 que tengo suman el peso de la última pesa. Es decir, 27 kilos.
• Esta es mágica. Miren bien los números de las pesas: 1, 3 y 9. Es decir, las distintas potencias del número 3. Siguiendo la secuencia, la cuarta pesa será de 27 kilos.

Obviamente una vez obtenido este número hay que verificar que se puedan generar todos los pesos desde 14 hasta 40 kg. No es muy difícil usando la estrategia de generar los distintos pesos mezclando las distintas pesas en los dos platillos. Pero cuidado, acá las pesas pueden ir bastante mezcladas. Por ejemplo, si deseamos pesar un paquete de 20 kilogramos debemos poner en el primer platillo las pesas de 27 y 3, mientras que en el segundo platillo las pesas de 9 y 1 junto al paquete.

Este problema esta muy lindo por lo que mencioné más arriba: o se necesita "saber nada de matemática" para poder resolverlo. Y además, que en la respuesta aparezcan las potencias del número 3 me parece fabuloso.